Individuato un metodo empirico per stimare la massima escursione del diaframma in condizioni di sufficiente linearità, siamo pronti ad utilizzare il modello matematico per stimare le curve che meglio rappresentano le prestazioni dinamiche dell’altoparlante:
MIL e MOL

La X_MAX che abbiamo individuato, con tutte le approssimazioni del caso, dovrebbe essere associata ad una distorsione dell’ordine del 5%. Distorsione totale? Di 2^a o di 3^a armonica? Come al solito, non è il caso di sottilizzare: l’elettroacustica NON è una scienza esatta e considerarla tale è solo manifestazione d’insicurezza e fonte di frustrazione.

Quel 5% di distorsione definisce bene un confine, tra i valori fisiologicamente tollerabili dalla psicoacustica delle frequenze più basse e quelli percepiti come evidente degrado della qualità, tra la crescita graduale di distorsione che caratterizza la zona di funzionamento sufficientemente lineare e sicuro e l’impennata che si registra quando i limiti del sistema vengono superati.

MIL e MOL

Non è quindi un caso che questa soglia del 5% sia stata a suo tempo assunta, dai luminari che formalizzarono efficaci tecniche di misura, come marcatore del limite di funzionamento utile dei sistemi di altoparlanti, in regime dinamico o impulsivo, anche in misure complesse, come quelle di intermodulazione e per differenza di frequenze.

Utilizzando raffinate tecniche di misura impulsiva e (generalmente) non distruttive, si concepì la traccia a terzi d’ottava della massima potenza elettrica applicabile contenendo la distorsione entro il tetto definito.

In AUDIO_REVIEW questa misura fu chiamata MIL (maximum input level, rif.bibl. 21) ma, a sua volta, era derivata dalla PIM, potenza istantanea massima, nata un paio d’anni prima nel laboratorio IIAF di SUONO (rif.bibl. 22). Del resto le teste erano praticamente le stesse, col notevole contributo additivo dell’ing. Gandolfi.

In realtà, ad essere individuata era la tensione applicata, ricondotta poi nel grafico alla potenza nominale su 8Ω. Quindi con una notevole approssimazione dovuta all’andamento dell’impedenza elettrica, che è particolarmente accidentato alle frequenze più basse, dove cadono le risonanze dei woofer.

Così, un vero salto di autorevolezza della misura si ebbe raffinando ulteriormente il concetto della MIL per rappresentare, nei vari terzi d’ottava, la massima intensità acustica a 1 metro, espressa direttamente in dB SPL.

Non erano più necessarie deduzioni ed interpretazioni: il limite dell’altoparlante diveniva finalmente esplicito nella misura di MOL (maximum output level, rif.bibl. 23).

Proprio la MOL è probabilmente da considerare la misura o la stima progettuale fondamentale di un sistema di altoparlanti per bassa frequenza, e la vedremo divenire decisamente più informativa della stessa risposta in frequenza simil-anecoica che, per quanto raccontato nella puntata sulla distorsione, fornisce indicazioni assolutamente fuorvianti sulla udibilità ed utilizzabilità delle varie frequenze, e risulta inoltre incapace di tener conto delle delicate interazioni con l’ambiente, che scopriremo in una prossima puntata.

È la MOL la misura o la stima in grado di condizionare pesantemente il giudizio sul risultato o l’attività progettuale che qui ci interessa.

MIL: dalla misura alla stima progettuale

Sì, progettuale, perché il fatidico modello matematico del woofer e dei carichi acustici (come abbondantemente trattato in rif.bibl. 4 e 7) consente di calcolare con buona precisione l’escursione X(f) del cono alle varie frequenze f, in relazione al segnale elettrico applicato.

Non a caso, fin dai primordi del software BASS64 di Renato Giussani (rif.bibl. 3), la curva di escursione era lì, inseparabile dalla risposta in frequenza, a impensierire i progettisti all’inseguimento delle frequenze più profonde, stimolando acrobatici espedienti per il suo contenimento e per poter spremere qualche decibel SPL o qualche hertz in più.

È evidente che, una volta nota la matematica in grado di tracciare la curva di escursione corrispondente a una data tensione applicata al woofer, manipolandola, divenga agevole trovare l’espressione inversa, per tracciare la curva del massimo segnale (e quindi della massima potenza elettrica nominale) applicabile alle varie frequenze, in relazione a una determinata escursione, in particolare alla X_MAX.

Almeno, questo è quello che è capitato a me quando, con ancora tutti i capelli in testa e dotato di una vista infallibile, dopo qualche notte insonne passata a digitare le migliaia di righe di codice Simon’s Basic del BASS64, ne sottrassi le routine di tracciatura dei grafici, in una utility satellite che chiamai MaxInput.

Da lì alla stima della MIL il passo era breve.

MOL: l’algoritmo di calcolo

Pochi anni dopo, sfruttando un’imbeccata giunta dall’ing. Marco Bonioli, al tempo giovane lettore della rivista AUDIO_REVIEW a cui collaboravo, io formalizzai matematicamente il suo metodo, nato con una costruzione grafica, per ottenere l’ancor più interessante stima della MOL (rif.bibl. 24). Individuai un algoritmo che fece rapidamente l’esordio nel software BASS-PC (che io ricordi, il primo software per progettazione di diffusori a implementarlo).

Vediamo come funziona.

Se si conosce la X_MAX e si traccia la curva di escursione X(f) per una tensione V (equivalente a una certa potenza nominale P, riferita a 8Ω), la MIL in funzione della frequenza è approssimata dalla semplice espressione:

espressa in dBW riferiti a 8Ω (cioè, in dB che associno il valore 0 dB alla potenza di 1W su 8 Ω)

Possiamo rappresentare l’operazione tramite i grafici di fig.18. Usiamo come esempio le curve prodotte dal nostro software BASSdesigner, particolarmente orientato a questo tipo di analisi.

La linea rossa orizzontale indica la X_MAX di 3,2mm e le frecce rosse orientate rappresentano, alle varie frequenze, il primo logaritmo dell’espressione individuata per la MIL. Di fatto, è il margine di crescita dell’escursione a cui corrisponderà, in dB, un pari margine di crescita della potenza. Tale margine risulta positivo, con frecce verso l’alto, solo dove l’escursione è minore della X_MAX, e negativo altrove.

Nel secondo grafico, le frecce rosse individuate prima sono traslate verticalmente in modo da portarne l’origine sulla linea gialla orizzontale, che indica la potenza per cui era stata calcolata l’escursione (nel nostro caso, 10W) e a cui applichiamo il “margine di crescita” individuato alle varie frequenze. Questa operazione grafica corrisponde ad aggiungere il termine costante della seconda parte dell’espressione matematica della MIL.

Congiungendo le punte delle frecce, risulta individuata la curva gialla che corrisponde proprio alla stima della MIL, sulla sola base dell’escursione X_MAX, senza tener conto dei comprensibili limiti imposti dalla dissipazione termica o dalle varie altre non linearità del woofer.

Figura 18: Metodo grafico di costruzione della MIL applicato ad un sistema reflex di esempio

Tale curva risulta ovviamente speculare alla curva di escursione con linea di simmetria posta a 1W (=0 dBW).

Ma la MIL(f), così espressa in dBW, indica alle varie frequenze anche quanti dB SPL possiamo aggiungere alla curva di risposta in frequenza, tracciata con 1W (più precisamente, con 2,83V), pur mantenendo l’escursione limitata entro la X_MAX.

Eureka! Ecco trovato proprio un metodo per la stima della MOL, almeno in condizioni ideali.

Se indichiamo con la funzione SPL(f) la risposta in frequenza a 1 metro con 2,83V (1W su 8Ω), matematicamente l’espressione della MOL(f) è ancora più semplice della MIL(f):

espressa in dB SPL/1m.
Anche per la MOL possiamo rappresentare l’operazione, con la costruzione grafica della figura 19, in continuità con la precedente.

Basta considerare che la curva MIL(f) indica alle varie frequenze il “margine di crescita” della potenza applicabile, rappresentato da frecce orientate verdi, rispetto alla potenza di riferimento di 1W su 8Ω.

Per tener conto del fattore correttivo di 6 dB, l’origine delle frecce è spostata in alto di 6 dB, andando a coincidere con la potenza di 4W su 8Ω, rappresentato dalla linea orizzontale gialla nel primo grafico.

Figura 19: Metodo grafico di costruzione della MOL applicato al sistema reflex di esempio

Similmente a quanto fatto per la costruzione della MIL, nel grafico a destra, le frecce verdi trovate prima, che rappresentano il margine di crescita per il segnale applicato, sono traslate verticalmente, portandone l’origine sulla curva della risposta in frequenza relativa a 1W su 8Ω (2,83V).

Congiungendo tutte le punte delle frecce verdi si ottiene proprio la stima della MOL, tracciata in nero.

Il termine correttivo che sottrae 6dB SPL al calcolo fu individuato empiricamente a suo tempo insieme a Renato Giussani (rif.bibl. 23), ricercando una consistenza tra la stima basata sul modello matematico e le tante misure di MOL già eseguite in laboratorio.

Grazie a questo banale espediente, le curve di MOL generate da BASSdesigner risultano più realistiche (e meno illusorie) di quelle prodotte da vari altri software, anche professionali.

Nell’implementazione degli algoritmi di stima MIL e MOL all’interno dei software di simulazione occorre prestare attenzione al fatto che queste due curve, calcolate essenzialmente sulla base della X_MAX, dipendono solo dalle caratteristiche del woofer utilizzato e dal carico acustico mentre sono completamente indipendenti dalle funzioni di trasferimento di eventuali blocchi posti a monte, sia a livello di segnale che a livello di potenza.

Quindi MIL e MOL del woofer restano concettualmente inalterate sia se sono introdotti filtri e/o sistemi di equalizzazione attiva prima dell’amplificatore, sia se sono presenti componenti passivi tra amplificatore e altoparlante, Ovviamente ciò vale nell’ambito in cui tali blocchi risultino molto più lineari dell’altoparlante servito. L’unica maniera per migliorare quei valori di MIL e MOL è aumentare la linearità dell’altoparlante, rendendo l’elasticità e/o il fattore di forza più uniformi e in una fascia di escursione più ampia, che tutto sommato equivale ad aumentare la X_MAX.

Finalmente abbiamo abbastanza conoscenze per poter passare alla parte applicativa, che sia finalizzata alla progettazione di nostre creature o alla scelta di prodotti commerciali, e nel procedere delle prossime puntate potremmo incontrare anche qualche sorpresa.